(本部数特综数压轴题)圆$O$的圆周上有一只猫和$n$只老鼠,设猫的初始位置为洞口$P$,老鼠初始位置任意,且猫和老鼠均可自由在圆周上移动,猫的速度是老鼠的$k;;(k>1)$倍。当猫和老鼠位于同一位置时,称猫捉住了这只老鼠;当老鼠位于洞口且猫不在洞口时,称这只老鼠逃脱,显然猫和老鼠都在洞口时猫仍然捉住了这只老鼠。

若要让猫在有限时间内捉住所有老鼠,不让任何老鼠逃脱,且猫和老鼠都会选择最佳策略,那么$k$的最小值是?